Теория:

Правильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.
На рисунке видны некоторые правильные многоугольники: треугольник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.
 
Regnst.png
 
Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:
из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.
 
Regnst_d.png
 
Если провести все диагонали из одной вершины, любой \(n\)-угольник можно поделить на \(n-2\) треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле 180°n2.
 
R_dz1.png
Так как все углы правильного \(n\)-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна 180°n2n.
Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.
 
Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.
 
Rl.png
 
AOH=360°n;AOK=360°2n=180°n.
 
В треугольнике \(AOK\) связаны сторона \(a\) (половина стороны \(AH\)), радиус описанной окружности \(OA = R\) и радиус вписанной окружности \(OK = r\).
 
a2=Rsin180°n;a=2Rsin180°n;R=a2sin180°n;a2=rtg180°n;a=2rtg180°n;r=a2tg180°n;r=Rcos180°n;R=rcos180°n.
 
Так как \(n\)-угольник состоит из \(n\) треугольников, равных \(AOH\), то
 
Snуг.=nSAOH=nAHr2=pr2.
 
Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.