Теория:

Уравнение окружности
Используем два уже известных факта и выведем уравнение окружности:
1. все точки окружности находятся на данном расстоянии (радиус) от данной точки (центр);
 
2. мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек AB=xAxB2+yAyB2, а если так, то квадрат расстояния AB2=xAxB2+yAyB2.
Rl_vdj.png
 
Допустим, что центр окружности находится в точке CxC;yC, а радиус окружности равен \(R\).
Любая точка Px;y на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит, справедливо равенство
xxC2+yyC2=R2.
Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.
 
Если центр окружности находится в начале координат 0;0, то уравнение имеет вид
x2+y2=R2.
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Taisnes_vdj.png
 
Координаты концов отрезка AxA;yA и BxB;yB. Любая точка Px;y находится на равных расстояниях от конечных точек PA=PB, конечно, равны и квадраты расстояний PA2=PB2, значит, справедливо равенство
 
xxA2+yyA2=xxB2+yyB2, которое и есть уравнение прямой.
 
После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых
x22xxA+xA2+y22yyA+yA2==x22xxB+xB2+y22yyB+yB2;2xxB2xxA+2yyB2yyA+xA2xB2+yA2yB2=0;2xB2xAx+2yB2yAy+xA2xB2+yA2yB2=0;
 
уравнение будет в таком виде:
 
ax+by+c=0;a=2xBxA;b=2yByA;c=xA2xB2+yA2yB2.
 
Рассмотрим особые прямые.
 
Taisnes_vert_horz_vdj.png
 
1. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Ox\) с координатами AxA;0.
Для любой точки на этой прямой x=xA, это и есть уравнение прямой.
Так как ось \(Oy\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Oy\) есть x=0.
2. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Oy\) с координатами B0;yB.
Для любой точки на этой прямой y=yB, это и есть уравнение прямой.
Так как ось \(Ox\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Ox\) есть y=0.
Источники:
Л. С. Атанасян, Б. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. Геометрия 7–9 классы. Москва, «Просвещение», 2010.