1. Тела и поверхности вращения

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника $A{A}_1{O}_{1}O$ вокруг одной из его сторон $O{O}_1$ или прямоугольника $A{A}_1{B}_{1}B$ вокруг прямой $O{O}_1$, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.

 

 

Прямая $O{O}_1$ называется осью цилиндра, $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — образующими.

 

Высота \(H\) цилиндра совпадает с любым из отрезков $O{O}_1$ \(=\) $A{A}_1$ \(=\) $B{B}_1$.

 

Два круга, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра.

 

Радиусом \(R\) \(=\) \(OA\) \(=\) \(OB\) цилиндра называется радиус его основания.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник, на данном рисунке — прямоугольник $A{A}_1{B}_{1}B$.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — тоже прямоугольник.

 

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:
$S_{\text{бок}.}=2\mathrm{\pi }\mathit{RH}$.

 

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:
$S=S_{\text{бок}.}+2S_{\text{осн}.}=2\mathrm{\pi }\mathit{RH}+2\mathrm{\pi }{R}^2$.

 

Для объёма прямого кругового цилиндра верно:
$V=\mathrm{\pi }{R}^{2}H$.

 

Осью прямого кругового конуса называется прямая \(PO\), содержащая его высоту \(H\).

Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны \(PA\) и \(PB\) являются образующими \(l\) конуса.

 

Радиус конуса \(R\) \(=\) \(OA\) \(=\) \(OB\) — это радиус основания.

 

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

 

 

Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен \(l\), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна \(2πr\).

 

Сфера получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра \(AB\) как оси.

 

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.

 

Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра \(O\) на расстояние, равное радиусу \(R\).

  

Любой отрезок, такой как \(OA\), \(OB\) и \(OC\) или другие, соединяющие центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром, как \(AB\) на рисунке. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.

Поверхность сферы:

$S=4\mathrm{\pi }{R}^2$.

 

Объём шара:

$V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^3$.