Теория:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

ab=abcosα.

Sk_reiz_garums.png
 
Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.
 
Угол между векторами обозначают abˆ=α.
 
1. Если векторы сонаправлены, то abˆ=0°.
 
Lenkis_vekt1.png
Обрати внимание!
Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.
Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.
2. Если векторы противоположно направлены, то abˆ=180°.
 
Lenkis_vekt3.png
Обрати внимание!
Так как косинус угла в \(180\) градусов равен \(-1\), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.
3. Векторы называют перпендикулярными, если abˆ=90°.
 
Lenkis_vekt2.png
Обрати внимание!
Так как косинус прямого угла равен \(0\), то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\).
4. Необходимо внимательно рассмотреть ситуации, когда векторы образуют тупой угол.
 
Lenkis_vekt5.png  Lenkis_vekt6.png
Обрати внимание!
Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.
Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Если axa;ya и bxb;yb, то ab=xaxb+yayb.
 
Так как в координатах a=xa2+ya2 и b=xb2+yb2, то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.
 
cosα=abab;cosα=xaxb+yaybxa2+ya2xb2+yb2.
Свойства скалярного произведения векторов
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.
 
aa>0;00=0.

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

aa=a2.
 
3. Для скалярного произведения в силе переместительный закон:

ab=ba.
 
4. Для скалярного произведения в силе распределительный закон:
 
a+bc=ac+bc.
 
5.  Для скалярного произведения в силе сочетательный закон:
 
kab=kab.
 
6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.