Теория:

Миновав остров сирен, Одиссей приближался к новым опасностям, о которых его предупреждала богиня Цирцея. Ему нужно проплыть по проливу между двумя скалами, где обитают два чудовища — Сцилла и Харибда.
Сцилла — чудовище, живущее в пещере. У неё двенадцать лап, шесть голов, в каждой из которых три ряда острых зубов. Когда мимо неё проплывал корабль, то она одновременно похищала с него шесть человек.
Харибда — морское чудовище, которое три раза в день поглощает воду и три раза в день извергает воду из своей пасти.
Одиссей понимал, что если приблизиться к Харибде, то всех ждёт неминуемая гибель. Он выбрал проплыть ближе к Сцилле и пожертвовать шестью товарищами.
Все мы, погибели близкой страшась, на Харибду глядели.
В это-то время как раз в корабле моём выгнутом Сцилла
Шесть схватила гребцов, наилучших руками и силой.
<...>
Так они бились, когда на скалу поднимала их Сцилла.
Там же при входе в пещеру она начала пожирать их.
С воплями в смертной тоске простирали ко мне они руки.
Многое я претерпел, пути испытуя морские,
Но никогда ничего не случалось мне видеть ужасней!
(Перевод В. В. Вересаева)
 
Выражение «между Сциллой и Харибдой» употребляется, когда говорят о сложной безвыходной ситуации, в которой даже если избежишь одной проблемы, то обязательно столкнёшься с другой. «Пройти между Сциллой и Харибдой» означает найти способ справиться с такой ситуацией, найти решение сложной проблемы.
 
Caught_between_a_rock_and_a_hard_place.png
Рис. \(1\). Изображения корабля Одиссея между Сциллой и Харибдой на итальянской фреске (\(XVI\) в.)
Источники:
Рис. 1. By Alessandro Allori - http://www.mitchellteachers.org/WorldHistory/AncientGreece/DiscoveringReferencestoGreekMythology.htmhttp://expositions.bnf.fr/lamer/grand/324.htm, Общественное достояние, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=17344550
Гомер. Одиссея. Перевод В. В. Вересаева. — М.: Гос. изд-во худож. лит-ры, 1953. — 319 с. 
Кун Н. А. Мифы и легенды Древней Греции. — М.: АСТ, 2006. — 479 с.