Теория:

Логические задачи состоят из высказываний и отображают их взаимосвязь. Математическая логика — это инструмент, с помощью которого можно разобрать виды высказываний и их взаимосвязь в логических задачах и формализовать решение таких задач.
Для решения логических задач средствами математической логики необходимо выполнить несколько этапов.
  1. Разбить условие на простые высказывания и обозначить их переменными.
  2. Записать условие с помощью логических операций в одно логическое выражение.
  3. Решение можно осуществить двумя способами:
  • составить таблицу истинности для полученного логического выражения,
  • упростить полученное выражения, используя законы алгебры логики.
Пример:
Задача. У Юли четыре подруги: Оля, Ксюша, Настя и Маша. Она позвала одновременно их всех в гости. Кто из подруг приедет в гости к Юле, не все они дружат между собой и известно, что:
  • если Оля или Ксюша приедут, то Настя не приедет,
  • если Ксюша не приедет, то приедет Настя и Маша,
  • Настя приедет.
Решение. Разобьем условие на простые выражения и обозначим их переменными:
\(A\) — «Оля приедет»;
\(B\) — «Ксюша приедет»;
\(C\) — «Настя приедет»;
\(D\) — «Маша приедет».
Запишем условие с помощью логических операций:
  • «если Оля или Ксюша приедут, то Настя не приедет» — ABC¯;
  • «если Ксюша не приедет, то приедет Настя и Маша» — B¯C&D;
  • «Настя приедет» — \(C\).
Запишем произведение этих высказываний:
(ABC¯)&(B¯C&D)&C.
 
Решим далее задачу двумя способами.
 
1 способ. Упростим данное выражение, используя законы алгебры логики:
(ABC¯)&(B¯C&D)&C=используем закон замены следствия AB=A¯B
=(AB¯C¯)&(B¯¯C&D)&C=используем закон инверсииAB¯=A¯&B¯  и закон двойного отрицания A¯¯=A
=(A¯&B¯C)&(BC&D)&C=используем формулу поглощения A&(A¯B)=A&B
=A¯&B¯&C&(BC&D)=используем его повторно для второго выражения в скобках
=A¯&B¯&C&Dэто конечное выражение, больше упростить ничего нельзя
 
Следуя условию выражение \(C=1\), значит \(D=1\), а \(A=0\) и \(B=0\).
То есть получаем, что к Юле приедут только Настя и Маша, а Оля и Ксюша не приедут.
 
2 способ. Составим таблицу истинности для выражения:(ABC¯)&(B¯C&D)&C.
 
\(A\)
\(B\)
\(C\)
\(D\)
ABC¯
B¯C&D
(ABC¯)&(B¯C&D)&C
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
 
 
Таблица истинности показывает, что выражение истинно только тогда, кода \(C\) и \(D\) равны \(1\) (четвертая строка таблицы). То есть получаем, что к Юле приедут только Настя и Маша, а Оля и Ксюша не приедут. Тот же самый ответ, как и в первом способе.