1. Сложение в позиционных системах счисления с основанием q

Нам привычнее всего выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, этому нас учат с детства. А как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления в других позиционных системах счисления?

 

Так как все рассматриваемые нами системы счисления относятся к виду позиционных систем счисления, то правила сложения, вычитания, умножения и деления в них одинаковые. А также одинаковыми для всех являются правила арифметики.

 

Почему иногда возникают трудности с выполнением арифметических операций в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления?

 

Допустим, \(1+1\) в десятичной системе счисления равняется двум. А в двоичной?

В двоичной системе счисления нет цифры \(2\), поэтому \(1+1=10\). Трудности возникают из-за того, что непонятен принцип построения числового ряда в других позиционных системах счисления.

 

Давай вспомним.

 

Числовой ряд двоичной системы счисления: \(0\), \(1\). На этом разряд единиц заканчивается, начинается разряд десятков: \(10\), \(11\). На этом заканчивается разряд десятков. Далее добавляются сотни: \(100\), \(101\), \(110\), \(111\). И таким образом строится остальной числовой ряд.

 

 

Числовой ряд: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\). На этом единицы закончились, добавляются десятки: \(10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\). Закончился первый десяток, далее будет второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой, после этого добавится разряд сотен: \(100, 101, 102, 103...\) и т. д.

 

 

Единицы: $\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}5,\mathrm{6,}\mathrm{7,}\mathrm{8,}\mathrm{9,}A,B,C,D,E,F$.

После перечисления всех единиц добавляется первый десяток: $\mathrm{10,}\mathrm{11,}12...1B,1C,1D,1F$.

Самое большое двузначное шестнадцатеричное число: \(FF\).

После него добавляется разряд сотен: $\mathrm{100,}\mathrm{101,}102...2\mathit{AA},2\mathit{AB}...\mathit{F00},\mathit{F01},\mathit{F02}...\mathit{FFE},\mathit{FFF}$.

Самое большое шестнадцатеричное число \(FFF\) равняется \(4095\) в десятичной системе счисления.

 

Для удобства сложения чисел в разных позиционных системах счисления применяют таблицы сложения.