6. Операции с вещественными числами

При выполнении сложения и вычитания с кодами чисел в нормализованном виде их порядки выравнивают, мантиссы складывают, после чего нормализуют результат.
 

Пример \(4\)

Определи сумму и код суммы чисел \(A\) и \(B\) (числа в десятичной системе счисления).

 

\(A = 51,0625\);
$B = 216\frac{3}{4}$.

 

 

Сложим мантиссы:

 

 

Полученная сумма обладает более высоким порядком, чем её слагаемые, поэтому нуждается в дополнительной нормализации:

$[K_{A+B}]=4310\mathit{BD00}$.

 

Выполним проверку:

 

Нормализуем:

 

 

$[K_{A+B}]=4310\mathit{BD00}$.

 

Ответ: $[K_{A+B}]=4310\mathit{BD00}$.

 

Пример \(5\)

Определи сумму и код суммы чисел \(A\) и \(B\) (числа в десятичной системе счисления).

 

 

Выровняем порядки по большему:

 

Перед сложением мантисс вспомним, что отрицательное число должно быть представлено в дополнительном коде, тогда можно заменить вычитание сложением.

 

В примере предыдущего параграфа мы воспользовались способом получения дополнительного кода через вычитание из переполненной разрядной сетки.

 

 

Сложим мантиссы.

 

 

Полученная сумма — отрицательная. Определим её прямой код.

 

 

Полученный прямой код суммы обладает более низким порядком, чем её слагаемые, поэтому нуждается в дополнительной нормализации:

$[K_{A+B}]=C2\mathit{FF}5000$.

 

Выполним проверку:

 

Нормализуем:

 

 

$[K_{A+B}]=C2\mathit{FF}5000$.

 

Ответ: $[K_{A+B}]=C2\mathit{FF}5000$.

 

При выполнении умножения вещественных чисел в нормализованном виде их порядки складывают, мантиссы перемножают, после вычислений результат нормализуют.

 

При выполнении деления вещественных чисел в нормализованном виде их порядки вычитают, мантиссы делят, после вычислений результат нормализуют.

Следует также принимать во внимание переполнение разрядной сетки при выполнении арифметических операций. Связано это с её ограниченностью при работе с реальными величинами, например со слишком большими или слишком малыми числами, а также в случае округления чисел и накопления ошибки округления при выполнении многочисленных вычислительных операций. Так, известен и описан случай ошибки округления, приведший к искажению траектории баллистической ракеты во время военной операции «Буря в пустыне».

Пример \(6\)

Определи произведение и код произведения вещественных чисел \(X\) и \(Y\) (числа представлены в виде машинных кодов в \(32\)-разрядной сетке).

\(X = 40A00000\); \(Y = 41B00000\).

 

Перемножим мантиссы. Для перемножения удобно воспользоваться двоичным представлением значимой части мантиссы:

$m_X=A_{16}={1010}_2$; $m_Y=B_{16}={1011}_2$.

 

Выполним умножение.

 

 

Произведение переведём в \(32\)-разрядный код с учётом суммы порядка (\(0 + 1 = 1\)):

$[K_{X\times Y}]=\mathit{C16E0000}$.

 

Выполним проверку: