Теория:

Задача № 1
Сколько раз встречается цифра \(2\) в записи чисел \(9\), \(11\), \(12\)…\(15\) в системе счисления с основанием \(4\)?
 
Переведём каждое число из приведённого числового ряда в четверичную систему счисления:
 
910=214,1010=224,1110=234,1210=304,1310=314,1410=324,1510=334.
 
Подсчитаем количество двоек.
 
Ответ: \(5\).
Задача № 2
В некоторой системе счисления десятичное число \(34\) записывается как \(46\). Найди основание этой системы счисления. 
 
Запишем уравнение: 46k=4×k1+6×k0=3410.
 
Так как любое число в нулевой степени равно единице, то \(34-6 = 28\).
\(28\) разделим на \(4\) и получим искомое основание.
 
Ответ: \(7\).
Задача № 3
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42014+220158?
 
Преобразуем выражение: 222014+2201523=24028+2201523.
 
Число 24028 в двоичной записи будет выглядеть как единица и \(4028\) нулей.
 
Число 22015 — одна единица и \(2015\) нулей, т. е. единица будет стоять в \(2016\) разряде.
 
Получим следующую запись: 1402900000.....01201600.....0000 и вычтем 23=1000.
 
Теперь подумаем логически. При вычитании необходимо будет занять в \(2016\) разряде единицу, при этом в \(3\) разряд придёт \(10\), а в остальные разряды с \(2015\) — по \(4\) единицы.
\(10-1 = 1\) — в \(3\) разряде получается ещё одна единица.
Посчитаем общее количество единиц: \(2015 - 3 = 2012\), не забудем единицу в \(4029\) разряде.
 
Ответ: \(2013\).
Задача № 4
Значение выражения 368+62012 записали в системе счисления с основанием \(6\). Сколько нулей содержится в этой записи?
 
Преобразуем выражение: 628+620206=616+620206.
 
В значении данного выражения в \(21\) и \(17\) разрядах будут стоять единицы, а в остальных разрядах — \(0\).
 
После вычитания шестеричного \(20\) получим следующее: во втором разряде будет \(4\), в разрядах с \(3\) по \(16\) будет \(5\), в разрядах с \(18\) по \(20\) — нули.
 
Посчитаем количество нулей: \(20-14-1 = 5\).
 
Ответ: \(5\).
Задача № 5
Найди значение выражения 3×228+2×220+212+3×46+2×44, если его записали в шестнадцатеричной системе счисления. Сколько значащих нулей в записи получившегося числа?
 
Преобразуем данное выражение. Результат нужно получить в шестнадцатеричной системе счисления, поэтому все множители, содержащие показатель степени, должны равняться \(16\).
 
3×167+2×165+163+3×163+2×162=3×167+2×165+4×163+2×162.
 
Что обозначает данная запись?
 
3×167 можно представить как \(3\) и \(7\) нулей, 2×165 — как двойку и \(5\) нулей и т. д.
 
Так как речь идёт об одном числе, то в этом числе, исходя из развёрнутой записи числа (а в результате преобразований у нас получилась именно развёрнутая запись некоторого числа), в \(7\), \(5\), \(3\) и \(2\) разрядах стоят некоторые цифры.
 
Вычислим количество нулей.
 
Всего их изначально было \(7\) (3×167), поэтому \(7-3=4\) значащих нуля будет в записи числа.
 
Ответ: \(4\).