Теория:

Любое число позиционной системы счисления можно представить в свёрнутой форме и развёрнутой. Со свёрнутой формой ты встречаешься постоянно, но совсем не задумываешься, как получаешь развёрнутую форму числа, умножая каждую цифру числа на её вес. Рассмотрим подробнее развёрнутую форму числа.
Развёрнутая форма числа — это сумма произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.
Представим десятичное число \(123,45\) в развёрнутом виде.
 
Для этого необходимо пронумеровать разряды. Разряд единиц — \(0\), десятков — \(1\) и т. д.
 
122130,4152
 
Теперь будем умножать каждую цифру числа на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду.
 
Свёрнутая форма числа
Развёрнутая форма числа
123,45
1×102+2×101+3×100+4×101+5×102
Правило перевода любого числа позиционной системы счисления в десятичную.
1. Записать развёрнутую запись числа.
2. Вычислить получившуюся сумму.
Правило перевода из десятичной системы счисления в любую позиционную систему счисления.
1. Разделить число на основание новой системы счисления нацело. Остаток записать.
2. Получившееся частное опять разделить на основание новой системы счисления. Остаток записать.
3. Повторять пункт \(2\) до тех пор, пока в частном не получится \(0\).
4. Собрать число из последовательности остатков, записанных в обратном порядке.
Последнее правило удобнее реализовать, выполняя деление в столбик.
Двоичная система счисления
Основание: \(2\).
Алфавит: \(0\), \(1\).
 
Переведём двоичное число 11010,112 в десятичную систему счисления.
 
1. Запишем развёрнутую форму числа.
 
1413021100,11122=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×21+1×22
 
2. Вычислим.
 
1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×21+1×22==16+8+0+2+0+0,5+0,25=26,75.
 
3. Запишем ответ. Нижний индекс обозначает основание системы счисления, в которой записано число.
 
11010,112=26,7510.
 
Переведём число \(124\) в двоичную систему счисления.
1. Разделим число \(124\) на \(2\) — основание новой системы счисления.
2. Далее будем делить получившиеся частные на \(2\) до тех пор, пока не получится ноль.
 
Скриншот 03-09-2021 00_25_49.jpg
 
3. Соберём остатки от деления в обратном порядке и получим двоичное число.
 
12410=11111002.
Восьмеричная система счисления
Основание: \(8\).
Алфавит: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\).
 
Переведём восьмеричное число \(4517\) в десятичную систему счисления.
 
435211708=4×83+5×82+1×81+7×80=4×512+5×64+1×8+7×1==2048+320+8+7=238310.
 
Запишем ответ: 45178=238310.
 
Переведём десятичное число \(2383\) в восьмеричную систему счисления.
 
Скриншот 03-09-2021 00_09_29.jpg
 
Соберём остатки от деления и получим восьмеричное число: 238310=45178.
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: \(16\).
Алфавит: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(A (10)\), \(B (11)\), \(C (12)\), \(D (13)\), \(E (14)\), \(F (15)\).
 
В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.
 
Переведём шестнадцатеричное число \(17AC\) в десятичную систему счисления.
 
1372A1C016=1×163+7×162+10×161+12×160==4096+1792+160+12=606010.
 
Запишем ответ: 17AC16=606010.
 
Переведём десятичное число \(6060\) в шестнадцатеричную систему счисления.
 
Скриншот 03-09-2021 00_10_26.jpg
 
Запишем ответ: 606010=17AC16.
Источники:
Изображения ©ЯКласс