Теория:

Рассмотрим основные свойства логических операций, называемых также законами алгебры логики.
 
Переместительный (коммутативный) закон:
  • для логического умножения: A&B=B&A;
  • для логического сложения: AB=BA.
Сочетательный (ассоциативный) закон:
  • для логического умножения: A&B&C=A&B&C;
  • для логического сложения: ABC=ABC.
Обрати внимание!
При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
Распределительный (дистрибутивный) закон:
  • для логического умножения: A&BC=A&BA&C;
  • для логического сложения: AB&C=AB&AC.
Закон двойного отрицания:
A¯¯=A.
 
Обрати внимание!
Двойное отрицание исключает отрицание.
Закон исключённого третьего:
  • для логического умножения: A&A¯=0;
  • для логического сложения: AA¯=1.
Закон повторения:
  • для логического умножения: A&A=A;
  • для логического сложения: AA=A.
Законы операций с \(0\) и \(1\):
  • для логического умножения: A&0=0; A&1=A;
  • для логического сложения: A0=A; A1=1.
Законы общей инверсии:
  • для логического умножения: A&B¯=A¯B¯;
  • для логического сложения: AB¯=A¯&B¯.
Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности. Докажем распределительный закон для логического сложения:
AB&C=AB&AC.
 
\(A\)
\(B\)
\(C\)
B&C
AB&C
AB
AC
AB&AC
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 
Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.