Теория:
Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.
Пример:
числа \(2\); \(3\); \(5\); \(7\); \(11\) — простые, т. к. делятся только на \(1\) и сами на себя, т. е. имеют два делителя.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.
Пример:
числа \(4\); \(6\); \(8\); \(10\) — составные, т. к. делятся не только на \(1\) и сами на себя, а ещё, например, на \(2\), т. е. имеют более двух делителей.
Число \(1\) не относится ни к простым, ни к составным числам.
Это число можно представить в виде произведения простых чисел.
Сокращённо нахождение разложения выглядит как столбик: слева от черты записываем делимое, а справа — делитель, результат деления записывают под делимым. Эти действия повторяем до получения \(1\). Справа от черты и будут записаны простые делители числа.
Зная, что произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, получим:
.
Для того, чтобы разложить число на простые множители, полезно знать признаки делимости.
Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.
Основная теорема арифметики:
любое натуральное число (кроме \(1\)) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.
В ходе выполнения различных заданий удобно пользоваться таблицей простых чисел.
Таблица простых чисел (до 997)
2 | 79 | 191 | 311 | 439 | 577 | 709 | 857 |
3 | 83 | 193 | 313 | 443 | 587 | 719 | 859 |
5 | 89 | 197 | 317 | 449 | 593 | 727 | 863 |
7 | 97 | 199 | 331 | 457 | 599 | 733 | 877 |
11 | 101 | 211 | 337 | 461 | 601 | 739 | 881 |
13 | 103 | 223 | 347 | 463 | 607 | 743 | 883 |
17 | 107 | 227 | 349 | 467 | 613 | 751 | 887 |
19 | 109 | 229 | 353 | 479 | 617 | 757 | 907 |
23 | 113 | 233 | 359 | 487 | 619 | 761 | 911 |
29 | 127 | 239 | 367 | 491 | 631 | 769 | 919 |
31 | 131 | 241 | 373 | 499 | 641 | 773 | 929 |
37 | 137 | 251 | 379 | 503 | 643 | 787 | 937 |
41 | 139 | 257 | 383 | 509 | 647 | 797 | 941 |
43 | 149 | 263 | 389 | 521 | 653 | 809 | 947 |
47 | 151 | 269 | 397 | 523 | 659 | 811 | 953 |
53 | 157 | 271 | 401 | 541 | 661 | 821 | 967 |
59 | 163 | 277 | 409 | 547 | 673 | 823 | 971 |
61 | 167 | 281 | 419 | 557 | 677 | 827 | 977 |
67 | 173 | 283 | 421 | 563 | 683 | 829 | 983 |
71 | 179 | 293 | 431 | 569 | 691 | 839 | 991 |
73 | 181 | 307 | 433 | 571 | 701 | 853 | 997 |