Простые числа. Разложение числа на простые множители

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.

Пример:

числа \(2\); \(3\); \(5\); \(7\); \(11\) — простые, т. к. делятся только на \(1\) и сами на себя, т. е. имеют два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

Пример:

числа \(4\); \(6\); \(8\); \(10\) — составные, т. к. делятся не только на \(1\) и сами на себя, а ещё, например, на \(2\), т. е. имеют более двух делителей.

Число \(1\) не относится ни к простым, ни к составным числам.

Число \(48\) — составное, т. к. кроме \(1\) и \(48\) оно делится, например, ещё на \(2\).

Это число можно представить в виде произведения простых чисел.

Сокращённо нахождение разложения выглядит как столбик: слева от черты записываем делимое, а справа — делитель, результат деления записывают под делимым. Эти действия повторяем до получения \(1\). Справа от черты и будут записаны простые делители числа.

\begin{array}{l} 48 | 2 \\ 24 | 2 \\ 12 | 2 \\ 6 | 2 \\ 3 | 3 \\ 1 \end{array}

Зная, что произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, получим:

48 = 2^{4} \cdot 3

Для того, чтобы разложить число на простые множители, полезно знать признаки делимости.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

\begin{array}{l} 375 | 3 \\ 125 | 5 \\ 25 | 5 \\ 5 | 5 \\ 1 \\ т . е . 375 = \\ 3 \cdot 5^{3} . \end{array}

Основная теорема арифметики:

любое натуральное число (кроме \(1\)) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.

В ходе выполнения различных заданий удобно пользоваться таблицей простых чисел.

Таблица простых чисел (до 997)

2	79	191	311	439	577	709	857
3	83	193	313	443	587	719	859
5	89	197	317	449	593	727	863
7	97	199	331	457	599	733	877
11	101	211	337	461	601	739	881
13	103	223	347	463	607	743	883
17	107	227	349	467	613	751	887
19	109	229	353	479	617	757	907
23	113	233	359	487	619	761	911
29	127	239	367	491	631	769	919
31	131	241	373	499	641	773	929
37	137	251	379	503	643	787	937
41	139	257	383	509	647	797	941
43	149	263	389	521	653	809	947
47	151	269	397	523	659	811	953
53	157	271	401	541	661	821	967
59	163	277	409	547	673	823	971
61	167	281	419	557	677	827	977
67	173	283	421	563	683	829	983
71	179	293	431	569	691	839	991
73	181	307	433	571	701	853	997

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Простые числа. Разложение числа на простые множители

Теория: