Теория:

Рассмотрим разновидность задания № \(25\) — геометрическая задача на вычисление градусной меры угла с помощью окружности.
 
Обрати внимание!
В данном номере необходимо выполнять дополнительные построения.
Для выполнения необходимо вспомнить теорию.
Пример:
в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом B про­ве­де­на бис­сек­три­са угла A. Известно, что она пе­ре­се­ка­ет се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр, проведённый к сто­ро­не BC в точке K. Най­ди­ угол BCK, если известно, что угол ACB равен 20\(°\).
Как решить задание из примера?
Для получения максимального балла задание нужно оформлять разборчивым почерком с подробным решением. Обязательно должны присутствовать чертёж, дано и решение.
 
зад26рис.png
Рис. \(1\). Чертёж
  
Дано: ΔABC; B=90°; BAL=CAL; ALOL=K; ACB=20°.
 
Найти: BCK.
 
Решение
 
1) Построим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ни­к \(ABC\) с пря­мым углом \(B\), про­ве­дём бис­сек­три­су угла \(A\)
 
(ABC=90°;BAL=LAC, так как \(AL\) — бис­сек­три­са).
 
2) Сделаем дополнительное построение: проведём окружность, опи­сан­ную около треугольника \(ABC\). Тогда получим, что биссектриса пересекает окружность в точке \(L\).
 
Соединим точки, получим треугольник \(BCL\). Так как BAL=CAL, а \(AL\) — бис­сек­три­са, то дуга \(BL\) равна дуге \(LC\). А раз дуги равны, то хорды, стягивающие эти дуги, также будут равны, отсюда следует, что треугольник \(BLC\) — равнобедренный.
 
3) Проведём высоту из вершины \(L\) к основанию \(BC\). Так как \(LN\) — это высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, то она также является биссектрисой и медианой, тогда \(BN=BC\). Отсюда следует, что \(LN\) — серединный перпендикуляр. Это означает, что точка \(L\) сов­па­да­ет с точ­кой \(K\), то есть с точ­кой пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к \(BC\) и бис­сек­три­сой.
 
4) BCK=BAK (точка \(L\) есть точ­ка \(K\)) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а BAK=12BAC.
Найдём угол \(BAC\):
 
BAC=180°ABCACB (так как сумма углов треугольника равна \(180°\));
 
BAC=180°90°20°;
 
BAC=70°.
 
Значит, угол \(BCK\) равен 35\(°\).
 
Обрати внимание!
Ответ запиши с единицами измерения.
Ответ: 35°.