Теория:

Рассмотрим разновидность задания № \(25\) — геометрическая задача на вычисление площади параллелограмма.
 
Обрати внимание!
В данном номере необходимо выполнять дополнительные построения.
Для выполнения необходимо вспомнить теорию.
Пример:
в па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD и AC со­от­вет­ствен­но равны 25, 9 и 7. Най­ди­ пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.
Как решить задание из примера?
Для получения максимального балла задание нужно оформлять разборчивым почерком с подробным решением. Обязательно должны присутствовать чертёж, дано и решение.
 
зад26ог2.png
Рис. \(1\). Чертёж
  
Дано: ABCD — параллелограмм; окружность ω(O;R); AO=25; OH=9; OK=7.
 
Найти: SABCD.
 
Решение
 
1) Построим па­рал­ле­ло­грам­м \(ABCD\), про­ве­дём диа­го­наль \(AC\), построим окружность, впи­сан­ную в тре­уголь­ник \(ABC\). Рас­сто­я­ния от точки \(O\) до точки \(A\) и пря­мых \(AD\) и \(AC\) со­от­вет­ствен­но равны 259 и 7.
 
2) Сделаем дополнительные построения. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому \(AO\), \(BO\), \(CO\)  — биссектрисы. Проведём касательные — \(OK\), \(OM\), \(OL\).  Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
 
3) Из прямоугольного треугольника \(AOK\) по теореме Пифагора найдём \(AK\):
 
AK=AO2OK2=25272=62549=576=24.
 
4) Отрезки \(OK\), \(OM\) и \(OL\)  равны как радиусы вписанной в треугольник \(ABC\) окружности, то есть OK=OM=OL=7. Рассмотрим треугольники \(ALO\) и \(AOK\), они прямоугольные, углы \(LAO\) и \(OAK\) равны,  \(AO\) — общая, следовательно, треугольники равны, откуда \(AL=AK=\) 24. Аналогично из равенства треугольников \(COM\) и \(COK\) получаем \(MC=CK\), а из равенства треугольников \(BOL\) и \(BOM\) — \(BL=BM\).
 
5) Площадь треугольника \(ABC\) можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
 
SABC=AB+BC+AC2OK=AL+LB+BM+MC+CK+AK2OK;
 
так как \(AL=AK\), \(BM=LB\), \(MC=CK\), то
 
SABC=2AL+2BM+2MC27=224+2BM+2MC27=24+BM+MC7.
 
6) Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
 
SABCD=MHBC=MO+OHBM+MC=16BM+MC.
 
7) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ACD\): \(AB\) равно \(CD\), \(AD\) равно \(BC\), углы \(ABC\) и \(ADC\) равны, следовательно, треугольники \(ABC\) и \(ACD\) равны. Поэтому площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма:
 
724+BM+MC=1216BM+MCBM+MC=168.
 
8) Площадь параллелограмма равна:
 
SABCD=MHBC=16168=2688.
 
Ответ: 2688.