Теория:

1. После шипящих  ж, ш, ч, щ обычно пишутся буквы а, у, и, е.
Пример:
жало, жук, жираф, жезл;
шалаш, шутка, шило, шесть;
чайка, чудо, чирикать, честность;
щавель, щука, щи, щеколда.
Исключения: брошюра, жюри, парашют.
 
А также имена собственные иноязычного происхождения, например: Жюль Верн, Шяуляй, Лонжюмо и др.
 
2. В корнях слов после шипящих под ударением пишется...
  
...(ё), соответствующее звуку [о], если в безударном положении ё [о] чередуется с е [э].
Пример:
жёлтый — желтизна,
шёлк — шелковистый,
чёрный — чернеть,
шёпот — шептать,
щёголь — щеголять;
...о, если звук [о] не чередуется с [э].
Пример:
жом, крыжовник, шов, шок,
шорник, шорох, чопорный, чащоба.
Следует различать написание имён существительных: (ожог (руки), поджог (леса)) — и глаголов: (ожёг (руку), поджёг (лес)). Такие написания называются дифференцирующими.
3. В окончаниях существительных, прилагательных и в суффиксах наречий после шипящих...
 
 ...под ударением пишется буква о.
Пример:
миражом, камышом, врачом,
плющом, большой, чужой, горячо;
 ...без ударения пишется буква е.
Пример:
пейзажем, плюшем, плачем, пищей,
лучшего, свежего, угрожающе.
4. Буква е (ё) всегда пишется
 - в окончаниях личных форм глаголов: сечёт, бережёшь;
 - в предложном падеже местоимения что: о чём, на чём;
 - в глагольном суффиксе –ёвыва: затушёвывать;
 - в суффиксах существительных –ёвк, –ёр: бечёвка, монтажёр
 - в суффиксе прилагательных –ён: золочёный;
 - в суффиксе страдательных причастий –ённ: сожжённый.
 
5. В суффиксах существительных (–ок, –от, –онок) и прилагательных (–ое) после шипящих под ударением пишется буква о.
Пример:
старичок, старушонка;
холщовый, ежовый.
В фамилиях на –ое, –ев(–ёв) в суффиксе могут писаться буквы о, е, ё, что зависит от традиции написания: Сычов, Сычев, Сычёв.
Источники:
Гольцова Н. Г., Шамшин И. В., Мищерина М. А. Русский язык. 10–11 классы. Учебник. — М.: 2011.