Теория:

Правописание приставок пре и при зависит от значения, которое они вносят в слово.
 
1. Приставка пре имеет значения:

а) высокой степени действия или качества
(в данном значении она синонимична словам очень, весьма):
прекрасный, премудрый, преувеличить;
  
б) близка по значению приставке пере:
преодолевать, преступать, преграждать.
 
2. Приставка при имеет значения:

а) близости, пространственной смежности:
приусадебный, приморский, пригородный;
 
б) прибавления, присоединения или приближения:
пригнать, пристроить, припаять;
 
в) совершения действия не в полной мере:
прикрыть, приостановить, придержать, придать;
  
г) совершения действия в полной мере, до конца:
приручить, придумать, пристегнуть;

д) совершения действия, предусмотренного в чьих-либо интересах:
припрятать, приберечь, приукрасить.
  
Обрати внимание!
Следует различать близкие по звучанию, но разные по значению слова: преклонение — приклонение; презрение — призрение; преходящий — приходящий; претворить — притворить, приёмник — преемник и др.
В некоторых словах значение приставок пре и при можно установить лишь путём этимологического анализа, поэтому правописание таких слов следует запомнить: присягать, приспешник, пресловутый, пресмыкаться и др.
 
Написание слов иноязычного происхождения с начальными пре и приустанавливается по орфографическому словарю: преамбула, прелюдия, президент, претендент; примат, принципиальный, приоритет и др.
Источники:
Гольцова Н. Г., Шамшин И. В., Мищерина М. А. Русский язык. 10–11 классы. Учебник. — М.: 2011.