Теория:

1. После приставок, оканчивающихся на гласную букву, в соответствии с произношением пишется и.
Пример:
проиграть, поиск, внутриигровой.
2. После приставок меж и сверх пишется буква и.
Пример:
межинститутский, сверхинтеллектуальный.
В слове взимать после приставки вз также пишется буква и в соответствии с произношением.
 
3. После русских приставок, оканчивающихся на согласную, вместо буквы и пишется ы.
Пример:
предыстория, розыгрыш, подытожить.
4. После всех заимствованных приставок, оканчивающихся на согласную (дез, контр, пан, пост, суб, супер, транс), пишется буква и.
Пример:
дезинфекция, контригра, постимпрессионизм.
5. Правописание и после приставок не распространяется на написание сложносокращённых слов, первая часть которых оканчивается на согласную. После первой части таких слов пишется буква и.
Пример:
спортинвентарь, спортигра, фининспектор.